全局阈值二值化

Tue, 02 Dec 2025 20:52:12 +0800

128阈值

在灰度图像中，像素值范围是0到255（共 256 个离散级）。把灰度图二值化时常见的简单规则是：

若像素值 $I(x,y)\geq T$，则置为 255（白）
否则置为0（黑）

当T=128时，即将灰度中点作为阈值：所有亮度 $\ge 128$ 的像素判为“亮”，小于的则判为”暗。

关于图片适用性的判别，则可以用似然比检验法进行确认（只不过需要知道前景和后景的分布）：

假设图像像素由前景和背景组成，每个部分的像素值服从高斯分布（正态分布）。设图像有 N 个像素，像素值为 $x_{i} (i=1,2,…,N)$ 。我们需要比较两个假设：

零假设（$H_{0}$）：阈值 T=128是合理的，即图像二值化使用固定阈值128。
备择假设（$H_{1}$）：阈值 T 是任意的，即存在一个最优阈值 $T^*$ 能更好地拟合图像数据。

似然比检验通过比较在 $H_{0}$ 和 $H_{1}$ 下的最大似然值来评估 $H_{0}$ 是否被拒绝。

假设前景和背景的像素值分别服从高斯分布：

背景像素 ($x_{i} \leq T $) 服从 $ N(\mu_{b},\sigma_{b}^{2})$
前景像素 ($ x_{i}>T $) 服从 $ N(\mu_{f},\sigma_{f}^{2}) $

则似然函数(给定阈值T)为:

$$ L(\mu_{b},\sigma_{b}^{2},\mu_{f},\sigma_{f}^{2},T)=\prod_{x_{i}\leq T}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_{b}^{2}}}\exp\left(-\frac{(x_{i}-\mu_{b})^{2}}{2\sigma_{b}^{2}}\right)\times\prod_{x_{i}>T}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_{f}^{2}}}\exp\left(-\frac{(x_{i}-\mu_{f})^{2}}{2\sigma_{f}^{2}}\right) $$

分别计算 $L_{0} 和 L_{1} $，似然比定义为：

$$ \Lambda=\frac{L_{0}}{L_{1}} $$

检验统计量为 $ \lambda=-2\ln\Lambda $，在$ H_{0} $下，$ \lambda $ 近似服从自由度为1的卡方分布（因为$ H_{1} $比$ H_{0} $多一个自由参数T）。

选择显著性水平$ \alpha $（通常为0.05），对应的卡方临界值为 $ \chi^{2}_{1,1-\alpha} $（例如，$ \alpha=0.05 $时，临界值为3.841）。
如果$ \lambda>\chi^{2}{1,1-\alpha} $，则拒绝$ H{0} $，表示阈值128不合理；否则不拒绝$ H_{0} $，表示128阈值可接受。

均值阈值

核心思想：使用图像所有像素灰度值的平均值作为阈值。

设图像有N个像素，第 $i$ 个像素的灰度值为 $p_i$ ，则平均阈值 $T$ 计算为：

$$ T = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} p_i $$

代码示例：

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def mean_thresholding(image):
    """
    平均阈值二值化
    """
    # 计算平均阈值
    mean_value = np.mean(image)
    
    # 应用阈值
    _, binary_image = cv2.threshold(image, mean_value, 255, cv2.THRESH_BINARY)
    
    return binary_image, mean_value

# 读取图像
image = cv2.imread('document.jpg', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)

# 应用平均阈值
binary_result, threshold_value = mean_thresholding(image)

print(f"计算得到的平均阈值: {threshold_value}")

# 显示结果
plt.figure(figsize=(12, 4))

plt.subplot(1, 3, 1)
plt.imshow(image, cmap='gray')
plt.title('原图')
plt.axis('off')

plt.subplot(1, 3, 2)
plt.hist(image.ravel(), 256, [0, 256])
plt.axvline(threshold_value, color='r', linestyle='--', label=f'阈值 = {threshold_value:.2f}')
plt.title('灰度直方图')
plt.legend()

plt.subplot(1, 3, 3)
plt.imshow(binary_result, cmap='gray')
plt.title('平均阈值二值化结果')
plt.axis('off')

plt.tight_layout()
plt.show()

OSTU大津法

核心准则：最优阈值 ($ T^*$) 是使两类像素的 “类间方差” 最大的阈值。

背后逻辑：类间方差越大，说明前景与背景的灰度差异越显著，分割效果越好；反之，类间方差越小，两类灰度重叠越严重，分割效果越差。

关键前提：总方差 = 类内方差 + 类间方差（总方差不随阈值 t 变化），因此 “最大化类间方差” 等价于 “最小化类内方差”，二者是完全等价的优化目标。

假设输入图像为单通道灰度图，灰度级范围为 $[0, L-1]$ （通常 $L=256$ ，即8位图像），定义：

$n_i$ ：灰度值为 $i$ 的像素个数；
总像素数 $N = \sum_{i=0}^{L-1} n_i$ ；
灰度级 $i$ 的概率 $p_i = \frac{n_i}{N}$ ，满足 $\sum_{i=0}^{L-1} p_i = 1$ （所有灰度的概率和为1）。

对于任意候选阈值 $t$ （ $0 \leq t \leq L-2$ ），将像素分为 $C_0$ （0~~t）和 $C_1$ （t+1~~L-1），定义以下关键统计量：

（1）两类的概率（权重）

背景类 $C_0$ 的概率： $\omega_0(t) = \sum_{i=0}^t p_i$ （所有灰度≤t的像素占比）；
前景类 $C_1$ 的概率： $\omega_1(t) = \sum_{i=t+1}^{L-1} p_i = 1 - \omega_0(t)$ （所有灰度>t的像素占比）。

（2）两类的均值（灰度中心）

背景类 $C_0$ 的均值： $\mu_0(t) = \frac{1}{\omega_0(t)} \sum_{i=0}^t i \cdot p_i$ （仅当 $\omega_0(t) \neq 0$ ，否则均值无意义）；
前景类 $C_1$ 的均值： $\mu_1(t) = \frac{1}{\omega_1(t)} \sum_{i=t+1}^{L-1} i \cdot p_i$ （仅当 $\omega_1(t) \neq 0$ ）；
全局均值（整幅图像的灰度均值）： $\mu = \sum_{i=0}^{L-1} i \cdot p_i = \omega_0(t) \cdot \mu_0(t) + \omega_1(t) \cdot \mu_1(t)$ （加权平均，权重为两类概率）。

类间方差的定义是：两类均值与全局均值的加权平方和，权重为两类概率：

$$ \sigma_b^2(t) = \omega_0(t) \cdot (\mu_0(t) - \mu)^2 + \omega_1(t) \cdot (\mu_1(t) - \mu)^2 $$

简化有：

$$ \boxed{\sigma_b^2(t) = \omega_0(t) \cdot \omega_1(t) \cdot (\mu_0(t) - \mu_1(t))^2} $$

大津算法的具体实现步骤如下（以8位图像 $L=256$ 为例）：

步骤1：计算灰度概率分布

遍历图像所有像素，统计每个灰度级 $i$ （0~255）的像素数 $n_i$ ，并计算概率 $p_i = \frac{n_i}{N}$ （ $N$ 为总像素数）。

步骤2：遍历所有候选阈值

遍历 $t \in [0, 254]$ （阈值需将灰度级分为非空两类，故 $t$ 不取255），对每个 $t$ 执行以下计算：

步骤3：计算两类的概率与均值

背景概率 $\omega_0(t) = \sum_{i=0}^t p_i$ ；
前景概率 $\omega_1(t) = 1 - \omega_0(t)$ ；
背景均值 $\mu_0(t) = \frac{1}{\omega_0(t)} \sum_{i=0}^t i \cdot p_i$ （若 $\omega_0(t) = 0$ ，跳过该 $t$ ）；
前景均值 $\mu_1(t) = \frac{1}{\omega_1(t)} \sum_{i=t+1}^{255} i \cdot p_i$ （若 $\omega_1(t) = 0$ ，跳过该 $t$ ）。

步骤4：计算类间方差

用简化公式计算 $\sigma_b^2(t) = \omega_0(t) \cdot \omega_1(t) \cdot (\mu_0(t) - \mu_1(t))^2$ 。

步骤5：寻找最优阈值

记录所有 $t$ 对应的 $\sigma_b^2(t)$ ，找到使 $\sigma_b^2(t)$ 最大的阈值 $t^*$ （若有多个 $t$ 对应最大方差，取任意一个即可）。

步骤6：二值化分割

将图像中灰度值 $\leq t^$ 的像素设为背景（通常为0），灰度值 $> t^$ 的像素设为前景（通常为255），或根据需求反转（前景为0，背景为255）。

示例验证（简化场景）

为直观理解，假设一幅图像的灰度级仅为 $[0,1,2,3]$ ，统计信息如下：

灰度级 $i$	0	1	2	3
像素数 $n_i$	10	20	30	40
概率 $p_i$	0.1	0.2	0.3	0.4

总像素数 $N=100$ ，全局均值 $\mu = 0 \times 0.1 + 1 \times 0.2 + 2 \times 0.3 + 3 \times 0.4 = 2.0$ 。

遍历候选阈值 $t=0,1,2$ ：

当 $t=0$ 时：

$\omega_0 = 0.1$ ， $\mu_0 = 0$ ；
$\omega_1 = 0.9$ ， $\mu_1 = \frac{1 \times 0.2 + 2 \times 0.3 + 3 \times 0.4}{0.9} = \frac{2.0}{0.9} \approx 2.222$ ；
$\sigma_b^2 = 0.1 \times 0.9 \times (0 - 2.222)^2 \approx 0.444$ 。

当 $t=1$ 时：

$\omega_0 = 0.1 + 0.2 = 0.3$ ， $\mu_0 = \frac{0 \times 0.1 + 1 \times 0.2}{0.3} \approx 0.667$ ；
$\omega_1 = 0.3 + 0.4 = 0.7$ ， $\mu_1 = \frac{2 \times 0.3 + 3 \times 0.4}{0.7} = \frac{1.8}{0.7} \approx 2.571$ ；
$\sigma_b^2 = 0.3 \times 0.7 \times (0.667 - 2.571)^2 \approx 0.760$ 。

当 $t=2$ 时：

$\omega_0 = 0.1 + 0.2 + 0.3 = 0.6$ ， $\mu_0 = \frac{0 \times 0.1 + 1 \times 0.2 + 2 \times 0.3}{0.6} \approx 1.333$ ；
$\omega_1 = 0.4$ ， $\mu_1 = 3$ ；
$\sigma_b^2 = 0.6 \times 0.4 \times (1.333 - 3)^2 \approx 0.667$ 。

最优阈值：

类间方差最大值为 $\approx 0.760$ ，对应 $t^*=1$ 。因此，最优分割为：灰度01（背景）、灰度23（前景），分割效果最优。

示例代码：

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def otsu_threshold_manual(gray_img):
    """
    手动实现大津算法，返回最优阈值和二值化图像
    :param gray_img: 输入灰度图（shape: (H, W)，值范围0-255）
    :return: (optimal_thresh, binary_img)
    """
    # 步骤1：计算灰度概率分布（灰度直方图）
    H, W = gray_img.shape
    total_pixels = H * W  # 总像素数 N
    hist, _ = np.histogram(gray_img.flatten(), bins=256, range=[0, 256])  # 统计每个灰度级的像素数 n_i
    p = hist / total_pixels  # 灰度级概率 p_i = n_i / N

    # 步骤2：遍历所有候选阈值 t（0~254，避免某一类为空）
    max_var = 0.0  # 最大类间方差
    optimal_thresh = 0  # 最优阈值

    for t in range(0, 255):
        # 步骤3：计算两类的概率 ω0、ω1
        omega0 = np.sum(p[:t+1])  # C0：0~t 的概率和
        omega1 = 1 - omega0       # C1：t+1~255 的概率和（ω0+ω1=1）

        # 跳过空类（避免除以零）
        if omega0 == 0 or omega1 == 0:
            continue

        # 步骤4：计算两类的均值 μ0、μ1
        # μ0 = sum(i*p_i for i=0~t) / omega0
        mu0 = np.sum(np.arange(t+1) * p[:t+1]) / omega0
        # μ1 = sum(i*p_i for i=t+1~255) / omega1
        mu1 = np.sum(np.arange(t+1, 256) * p[t+1:]) / omega1

        # 步骤5：计算类间方差（使用简化公式）
        between_var = omega0 * omega1 * (mu0 - mu1) ** 2

        # 更新最大方差和最优阈值
        if between_var > max_var:
            max_var = between_var
            optimal_thresh = t

    # 步骤6：根据最优阈值二值化
    binary_img = np.where(gray_img <= optimal_thresh, 0, 255).astype(np.uint8)  # 0=背景，255=前景
    # 若需反转前景背景，改为：np.where(gray_img <= optimal_thresh, 255, 0)

    return optimal_thresh, binary_img

# ---------------------- 主流程 ----------------------
# 1. 读取图像并转为灰度图
img_path = "test_image.jpg"  # 替换为你的图像路径
img = cv2.imread(img_path)
if img is None:
    print("Error: 无法读取图像，请检查路径是否正确！")
    exit()
gray_img = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)

# 2. 手动调用大津算法
manual_thresh, manual_binary = otsu_threshold_manual(gray_img)

# 3. 对比 OpenCV 结果（验证正确性）
cv2_thresh, cv2_binary = cv2.threshold(gray_img, 0, 255, cv2.THRESH_BINARY + cv2.THRESH_OTSU)

# 4. 显示结果
plt.figure(figsize=(15, 5))

# 原图
plt.subplot(1, 4, 1)
plt.imshow(cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2RGB))
plt.title("原图")
plt.axis("off")

# 灰度图
plt.subplot(1, 4, 2)
plt.imshow(gray_img, cmap="gray")
plt.title("灰度图")
plt.axis("off")

# 手动实现二值化
plt.subplot(1, 4, 3)
plt.imshow(manual_binary, cmap="gray")
plt.title(f"手动实现大津二值化\n阈值={manual_thresh}")
plt.axis("off")

# OpenCV 实现二值化（对比）
plt.subplot(1, 4, 4)
plt.imshow(cv2_binary, cmap="gray")
plt.title(f"OpenCV 大津二值化\n阈值={cv2_thresh:.0f}")
plt.axis("off")

plt.tight_layout()
plt.show()

# 输出阈值对比（验证手动实现正确性）
print(f"手动实现最优阈值：{manual_thresh}")
print(f"OpenCV 最优阈值：{cv2_thresh:.0f}")
print(f"两者阈值是否一致：{manual_thresh == int(cv2_thresh)}")

# 保存结果（可选）
cv2.imwrite("manual_otsu_binary.jpg", manual_binary)
print("手动实现二值化结果已保存！")

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