线性回归

Mon, 24 Nov 2025 20:52:57 +0800

一元线性回归

基本方程：

$$ y = \beta_{0} + \beta_{1}x $$

当给定参数$\beta_{0}$和$\beta_{1}$后，函数图像呈现一条直线。当我们只用一个$x$来预测$y$，就是一元线性回归，但在一般条件下，这两个参数是未知的，我们知道的只有$x$和$y$，在二维图像上表现为一个个单独的点，线性回归就是要找到一条直线，尽可能让这条线去拟合图中的点（即所有的$x$和$y$的组合）。

这是非常理想的情况下，在实际中，数据点会十分散乱，线性回归就是在杂乱中寻找规律：

损失函数

既然是用直线拟合散点，为什么最终得到的直线是蓝色的那根而不是绿色的，散点都在这两条线附近，所以我们需要一个评判标准，用于评价哪条才是最“合适”的。

一个很直观的标准就是看哪条线和散点之间的偏差最大，也就是真实值和预测值间的差值，即残差，用公式表示即：

$$ e = y - \hat{y} $$

图像表示为：

对于我们数据中的每个点如此计算一遍，再将所有的$e_{i}^{2}$相加，就能量化出拟合的直线和实际之间的误差。公式表示为：

$$ Q=\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\hat{y}_{i})^{2}=\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-(\hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1}x_{i}))^{2} $$

这个公式是残差平方和，即SSE（Sum of Squares for Error），在机器学习中它是回归问题中最常用的损失函数。

现在我们知道了损失函数是衡量回归模型误差的函数，也就是我们要的“直线”的评价标准。这个函数的值越小，说明直线越能拟合我们的数据。

最小二乘估计

最小二乘估计是用来计算$\beta_{0}$和$\beta_{1}$的方法，我们知道，两点确定一线，有两组x，y的值，就能算出来$\beta_{0}$和$\beta_{1}$。但是现在我们有很多点，且并不正好落在一条直线上，这么多点每两点都能确定一条直线，这到底要怎么确定选哪条直线呢？

将一切回归到评价准则，对于一条最适合的线，其损失函数的值一定是最小的，对于一个一元二次函数，其导函数为0的点处取到最小函数值，而在损失函数中，存在两个变量，为二元二次函数，其函数图像大致为：

在微积分中，若闭区间内是凹函数，则极小值即为最小值，导数为0时，Q取最小值，因此对两个未知量求偏导，令其为0，则：

$$ \frac{\partial Q}{\partial\beta_{0}}=2\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\hat{\beta}_{0}-\hat{\beta}_{1}x_{i}\right)=0 $$$$ \frac{\partial Q}{\partial\beta_{1}}=2\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\hat{\beta}_{0}-\hat{\beta}_{1}x_{i}\right)x_{i}=0 $$

将散点值代入，即可求得。

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